„Habe nun ach! Philosophie, Juristerei und Medizin, und leider auch Theologie! durchaus studiert mit heißem Bemühn. Da steh ich nun, ich armer Tor! und bin so klug als wie zuvor; heiße Magister, heiße Doktor gar, und ziehe schon an die zehen Jahr herauf, herab und quer und krumm meine Schüler an der Nase herum – und sehe, dass wir nichts wissen können!

Das will mir schier das Herz verbrennen!“ 

- Faust I, S. 354–365

Russellsche Antinomie

Die Russellsche Antinomie (auch: Mengenparadoxon) ist ein von Bertrand Russell und Ernst Zermelo entdecktes Paradoxon der naiven Mengenlehre:

R sei definiert als die "Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten":

R:= { x | x ∉ x }

Frage: Enthält diese sog. Russellmenge R nun sich selbst als Element (R ∈ R)?

Antwort 1: Ja. Dann folgt daraus, dass R sich nicht als ein Element enthält, da R qua definitonem nur die Mengen umfasst, die sich nicht selbst als Element haben.

Antwort 2: Nein. Dann folgt daraus, dass R sich als ein Element enthält, da R qua definitonem alle Mengen umfasst, die sich nicht selbst als Element haben.

Die Annahme einer Russellmenge R führt also zur Russellschen Antinomie:

R ∈ R ⇔ R ∉ R

Diese Antinomie wurde von Russell am sog. Barbierparadoxon veranschaulicht:

B sei ein Dorfbarbier, der alle Männer rasiert, die sich nicht selbst rasieren.

Frage: Rasiert der Dorfbarbier B sich selbst?

Antwort 1Ja. Dann folgt daraus, dass der Dorfbarbier B sich nicht selbst rasiert, da der Dorfbarbier nur alle Männer rasiert, die sich nicht selbst rasieren.

Antwort 2: Nein. Dann folgt daraus, dass der Dorfbarbier B sich selbst rasiert, da der Dorfbabier alle Männer im Dorf rasiert, die sich nicht selbst rasieren.

Die Annahme des Dorfbarbiers B führt also zu dem folgendem Widerspruch:

B rasiert sich selbst, gdw. B sich nicht selbst rasiert.

Currys Paradoxon enthält eine Verallgemeinerung der Russellschen Antinomie.

Bertrand Russell
Bertrand Russell

Siehe auch

Grundlagenkrise der Mathematik

Logizismus

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