Philoclopedia
Die Russellsche Antinomie (auch: Mengenparadoxon) ist ein von Bertrand Russell und Ernst Zermelo entdecktes Paradoxon der naiven Mengenlehre:
R sei definiert als die "Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten":
R:= { x | x ∉ x }
Frage: Enthält diese sog. Russellmenge R nun sich selbst als Element (R ∈ R)?
Antwort 1: Ja. Dann folgt daraus, dass R sich nicht als ein Element enthält, da R qua definitonem nur die Mengen umfasst, die sich nicht selbst als Element haben.
Antwort 2: Nein. Dann folgt daraus, dass R sich als ein Element enthält, da R qua definitonem alle Mengen umfasst, die sich nicht selbst als Element haben.
Die Annahme einer Russellmenge R führt also zur Russellschen Antinomie:
R ∈ R ⇔ R ∉ R
Diese Antinomie wurde von Russell am sog. Barbierparadoxon veranschaulicht:
B sei ein Dorfbarbier, der alle Männer rasiert, die sich nicht selbst rasieren.
Frage: Rasiert der Dorfbarbier B sich selbst?
Antwort 1: Ja. Dann folgt daraus, dass der Dorfbarbier B sich nicht selbst rasiert, da der Dorfbarbier nur alle Männer rasiert, die sich nicht selbst rasieren.
Antwort 2: Nein. Dann folgt daraus, dass der Dorfbarbier B sich selbst rasiert, da der Dorfbabier alle Männer im Dorf rasiert, die sich nicht selbst rasieren.
Die Annahme des Dorfbarbiers B führt also zu dem folgendem Widerspruch:
B rasiert sich selbst, gdw. B sich nicht selbst rasiert.
Currys Paradoxon enthält eine Verallgemeinerung der Russellschen Antinomie.
Siehe auch
Grundlagenkrise der Mathematik
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