„Habe nun ach! Philosophie, Juristerei und Medizin, und leider auch Theologie! durchaus studiert mit heißem Bemühn. Da steh ich nun, ich armer Tor! und bin so klug als wie zuvor; heiße Magister, heiße Doktor gar, und ziehe schon an die zehen Jahr herauf, herab und quer und krumm meine Schüler an der Nase herum – und sehe, dass wir nichts wissen können!

Das will mir schier das Herz verbrennen!“ 

- Faust I, S. 354–365

Reductio ad absurdum

Die Reductio ad absurdum (auch: Widerspruchsbeweis, indirekter Beweis) ist ein Thema[1][2] in der Logik. Dabei wird eine Prämisse widerlegt, indem gezeigt wird, dass aus ihr ein logischer Widerspruch gegenüber einer bereits anerkannten Annahme folgt.

Die Reductio spielt eine herausragende Rolle in Philosophie und Mathematik.

1. Hinführung

Die Reductio ist eine Argumentationsstrategie, die auf der Schlussfigur des modus tollens aufbaut.

Frage: Unter welchen Umständen ist der modus tollens eine gültige Schlussfigur?

Antwort: Wenn der Satz vom Widerspruch gilt, nach dem gilt, dass zwei sich widersprechende Annahmen nicht zugleich wahr sein können.

BegründungEine Reductio ad absurdum lässt sich so formalisieren:

P1. Annahme: A.
P2. Deduktiv gültiges Argument, das von A auf:

P2a. ¬A; oder
P2b. (B und ¬B); oder
P2c. C (wobei C offensichtlich falsch ist) schließt.

C1. Also¬A.

Exerzieren wir das Ganze jetzt durch:

P2a. Wenn A, dann nicht-A.
Nach dem Satz vom Widerspruch kann aber nicht A und nicht-A zutreffen.
K1. Also: Nicht-A.

P2b. Wenn A, dann (B und nicht-B).
Nach dem Satz vom Widerspruch kann aber nicht B und nicht-B zutreffen.

K1. Also: Nicht-A.

P2a. Wenn A, dann C & C ist offensichtlich falsch.
Nach dem Satz vom Widerspruch kann C aber nicht wahr und falsch sein.
K1Also: Nicht-A.

2. Beispiele

a. Beispiel 1

P1. Annahme: Alle Menschen sind Griechen.
P2. Wenn alle Menschen Griechen sind, dann ist Hilary Putnam ein Grieche und das ist offensichtlich falsch.
K1. Also: Nicht alle Menschen sind Griechen.

b. Ontologischer Gottesbeweis

P1. Gott ist das Wesen, über das hinaus nichts Größeres gedacht werden kann.

P2. Gott existiert sicher im Verstand. Denn selbst wer die unabhängige Existenz Gottes in der Wirklichkeit leugnet, versteht den Ausdruck "das Wesen, über das hinaus nichts Größeres gedacht werden kann."

P3Annahme: Gott existiert nur im Verstand und in der Wirklichkeit.

P4. Wenn etwas im Verstand ist, kann gedacht werden, dass es auch in Wirklichkeit existiert.
P5. Wenn etwas in Wirklichkeit existiert, ist es größer, als wenn es nur im Verstand existiert.

K1. Aus P4. und P5. folgt: Wenn etwas nur im Verstand existiert, kann über ihm Größeres gedacht werden.
K2. Aus P1, P3. & K1. folgt: Gott ist das Wesen, über das hinaus nichts Größeres gedacht werden kann und über Gott hinaus kann Größeres gedacht werden.
K3. Also: Gott existiert nicht nur im Verstand, sondern auch in der Wirklichkeit.

c. √2 ist keine rationale Zahl

P1. Annahme: √2 ist eine rationale Zahl; d.h. es gibt zwei teilerfremde natürliche Zahl n und m mit: √2 = n/m.
K1. Aus P1. folgt: 2 = n/ m2
K2. 2
m2 = n2 D.h., n2 ist eine gerade Zahl.

P4. Das Quadrat einer Zahl ist aber nur gerade, wenn die Zahl auch selbst gerade ist.
K3. Aus K2. und P4 folgt: Es gibt eine Zahl u mit n = 2
u.
K4. Aus K2. Und K3. folgt: m2 = 2
2 u2

K5. Daraus folgt: m2 = 2 u2, d.h., m2 ist ebenfalls eine gerade Zahl und damit auch m.

K6. Aus P1. Und K5 folgt: n und m sind teilerfremd und sind nicht teilerfremd.
K7. Also: 2 ist keine rationale Zahl.

d. Es gibt keine größte Primzahl

P1. Annahme: Es gibt eine größte Primzahl, sie heiße p.
K1. Aus P1. folgt: Dann gibt es nur endlich endlich viele Primzahlen. Wir können sie also alle miteinander multiplizieren und zu diesem Produkt 1 addieren. Das Ergebnis heiße x. Wenn man jetzt x durch eine der anderen Primzahlen teilt, bleibt immer der Rest 1. Also ist x selbst eine Primzahl.

Außerdem ist x größer als p.
K2. Aus P1. Und K1. Folgt: Es gibt eine größte Primzahl und es gibt keine größte Primzahl. Bzw. Es gibt eine Primzahl, die größer ist als die größte Primzahl.
K3. Also: Es gibt keine größte Primzahl.

Fußnoten

[1] Ein Thema ist eine Argumentationsstrategie.

[2] Die Reductio ad Absurdum (Thema, Argumentionsstrategie) wird leider immer noch oft mit dem modus tollens (Schlussfigur) vermengt!

Siehe auch

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