„Habe nun ach! Philosophie, Juristerei und Medizin, und leider auch Theologie! durchaus studiert mit heißem Bemühn. Da steh ich nun, ich armer Tor! und bin so klug als wie zuvor; heiße Magister, heiße Doktor gar, und ziehe schon an die zehen Jahr herauf, herab und quer und krumm meine Schüler an der Nase herum – und sehe, dass wir nichts wissen können!

Das will mir schier das Herz verbrennen!“ 

- Faust I, S. 354–365

Bellsche Ungleichung

Die Bellsche Ungleichung (auch: Bellsches Theorem) ist eine mathematische Relation, die 1964 von John Stewart Bell aufgestellt und bewiesen wurde.

Sie kann als eine Replik auf ein Argument von Albert Einstein, Boris Podolsky und Nathan Rosen (kurz: EPR-Argument) verstanden werden:

P1. EPR argumentieren, dass die Quantenmechanik durch lokale verborgene Variablen zu einer realistisch-lokalen Theorie vervollständigt werden kann.
P2. Wenn EPR Recht haben, muss die QM die bellsche Ungleichung erfüllen.
P3. Die Quantenmechanik erfüllt die bellsche Ungleichung nicht.

K1. EPR haben Unrecht. Die QM ist keine realistisch-lokale Theorie!

Die Konsequenzen aus der Bellschen Ungleichung sind umstritten und gehören zu den meistdiskutiertesten Themen in der Philosophie der Physik.

P1. Das EPR-Argument

P1. EPR argumentieren, dass die Quantenmechanik durch lokale verborgene Variablen zu einer klassischen Theorie vervollständigt werden kann.

Das EPR-Argument baut dabei auf den folgenden Annahmen auf:

A1. In einer klassischen Theorie muss jedes Element der physikalischen Realität eine Entsprechung haben.

A2. Ein Element der Realität ist eine physikalische Größe, deren Wert prinzipiell vorhergesagt werden kann, ohne dass System zu stören, d.h. seinen Zustand zu verändern.

Jetzt sehen wir uns ein EPR-artiges Experiment an:

(i) Es gibt zwei Teilchen T1 und T2, die anfänglich direkt miteinander wechselwirken und sich daraufhin voneinander entfernen, bis sie raumartig zueinander leigen. Die Quantenmechanik beschreibt dieses Zweiteilchen-System durch einen einzigen, verschränkten Zustand.

(ii) Die räumlich getrennten Teilchen besitzen komplementäre Messgrößen  (z.B. Ort und Impuls). Das heißt: Wenn sich nach der Messung an T1 dieses Teilchen am Ort A befindet, dann kann der Ort B von T2 mit Sicherheit vorhergesagt werden.

(iii) Ohne Messung kann der Aufenthaltsort der Teilchen im Rahmen der gegenwärtigen Quantenmechanik aber prinzipiell nicht vorhersagt werden.

Daraus schlussfolgern EPR:

P1. Der Ortswert von T2 kann im Rahmen der gegenwärtigen QM gemäß (iii) nicht ohne Messung, d.h. Störung des Systems vorhergesagt werden.

K1. Also: Die gegenwärtige Quantenmechanik ist gemäß A1 keine klassische Theorie.

Insbesondere Albert Einstein hat Zeit seines Lebens versucht, die Quantenmechanik durch durch lokal verborgene Variablen zu vervollständigen, die den im Formalismus der Quantenmechanik nicht berücksichtigten Elementen der Realität entsprechen. Er wollte sie so zu einer klassischen Theorie machen.

Kurz: Einstein hat versucht zu zeigen, dass T2 auch schon vor der Messung an T1 einen festen Ortswert hat und sich dieser auch bereits vorhersagen lässt.

P2. Bellsche Ungleichung

P2. Wenn EPR Recht haben, muss die QM die bellsche Ungleichung erfüllen.

1964 stellte John Stewart Bell aber die Bellsche Ungleichung auf, für die gilt:

(B) Ein von ihm vorgeschlagenes Experiment bestätigt die Bellsche Ungleichung, gdw. die Quantenmechanik lokal-realistisch ist, d.h. sich durch lokal verborgene Variablen zu einer klassischen Theorie ergänzen lässt. Andernfalls wird das Experiment die Ungleichung verletzen.

Bells Überlegungen bauen grob vereinfacht auf solchen Annahmen auf:

1)   Es existieren zwei Labore L1 und L2, die wahlweise eines von zwei Versuchen V1 und V2 innerhalb eines Zeitraums Δt durchführen können, die zwei mögliche Ergebnisse E1 und E2 besitzen.

 

2)   Der Abstand zwischen L1 und L2 ist so groß, dass im Zeitraum Δt L1 und L2 keine Lichtsignale und damit räumlich gar keine Information austauschen können.

Dann gilt: Dann kann in einer lokal-realistischen Theorie die Wahl des Versuches in L1 keinen Einfluss auf die Wahl des Versuches in L2 haben.

Die Bellsche Ungleichung zeigt nun auf, dass in einer lokalen Theorie bestimmte Korrelationen zwischen Messergebnissen nicht auftauchen können.

P3. Aspekt-Experiment

P3. Die Quantenmechanik erfüllt die bellsche Ungleichung nicht.

1982 realisierte Alain Aspect das von Bell vorgeschlagene Experiment. Er zeigte auf, dass die Korrelationen zwischen den Messergebnissen auftauchen und das Experiment somit die Bellsche Ungleichung verletzt. Also gilt gemäß (B):

·        Der quantenmechanische Lokal-Realismus ist gewiss falsch!

Das ist wohl die Haupterkenntnis aus der Bellschen Ungleichung. Aus ihr folgt, dass mindestens eines der Prinzipien nicht für die Quantenmechanik gilt:

1. Realismus: Quantenphysikalische Größen (wie z.B. Ort und Impuls) sind gewissermaßen real und liegen insb. unabhängig von der Messung vor.

2. Lokalität: Physikalische Zustände können sich gegenseitig nur über den Raum und höchstens mit Lichtgeschwindigkeit beeinflussen. 

Nach meiner persönlichen Einschätzung muss man in einer lokal und nicht-realistischen Theorie einen kaum haltbaren Realismusbegriff einführen.

Daher lautet meine Prognose: Wenn man diesen unplausiblen Realismusbegriff umgehen möchte, dann muss man davon ausgehen, dass die Bellsche Ungleichung bewiesen hat, dass die QM eine nicht-lokale Theorie ist!

Siehe auch

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Kommentare: 2
  • #1

    WissensWert (Donnerstag, 10 Mai 2018 14:27)

    heute auf Spektrum erschienen: https://www.spektrum.de/news/computerspieler-widerlegen-einstein/1564842

  • #2

    Philoclopedia (Samstag, 05 Oktober 2019 21:07)

    https://www.uni-muenchen.de/forschung/news/2017/weinfurter_bellscheungleichung.html


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