Immanuel Kant entwickelte seine Philosophie der Mathematik in der Kritik der reinen Vernunft und resümiert sie nochmal in der Prolegomena. Für Kant sind alle Sätze der (reinen) Mathematik intuitive, synthetische Urteile a priori.[1]

Kant unterscheidet zum einen Urteile:

a priori: die vor aller Erfahrung gewonnen werden ("die Kugel ist rund").

a posteriori: die nach der Erfahrung gewonnen werden ("die Kugel ist rot").

Und zum anderen zwischen Urteilen der Art:

analytisch: bei denen das Prädikat im Subjekt enthalten ist

("alle Junggesellen sind unverheiratet").

synthetisch: bei denen das Prädikat nicht im Subjekt enthalten ist ("alle Junggesellen sind kahl").

Ein synthetisches Urteil a priori wird folglich nicht auf Basis von Erfahrung gefällt (a priori) und beruht nicht auf Zerlegung von Begriffen (synthetisch).

Bei synthetischen Urteilen a priori trifft Kant noch eine dritte Unterscheidung:

intuitiv: die mit der Struktur der Wahrnehmung verbunden sind.
diskursiv: die mit der logischen Ordnung verbunden sind.

„Nun enthält ein Begriff a priori (ein nicht empirischer Begriff) entweder schon eine reine Anschauung in sich, und alsdenn kann er konstruiert werden; oder nichts als die Synthesis möglicher Anschauungen, die a priori nicht gegeben sind, und alsdenn kann man wohl durch ihn synthetisch und a priori urteilen, aber nur diskursiv nach Begriffen, und niemals intuitiv durch die Konstruktion des Begriffes.“
- Immanuel Kan: Kritik der reinen Vernunft (1998), S. 769

Mathematische Urteile sind nach Immanuel Kant nun:

2. Intuitiv: "sie [mathematische Urteile] durchaus nicht aus Begriffen, sondern jederzeit nur durch die Konstruktion der Begriffe vor sich gehen muss."[2]

Frage 1: Was soll man sich unter der "Konstruktion von Begriffen" vorstellen?

Antwort: Kant meint damit das Darstellen eines Begriffs a priori in der Anschauung.[3] Es "wird also eine nicht empirische Anschauung erfordert."[4]

Diese "reine Anschauung", in der ein Begriff angeschaut bzw. konstruiert werden kann, ist für Kant die Bedingung der Möglichkeit der Mathematik.[5]

Frage 2: Wie ist eine "reine Anschauung" vor der Erfahrung überhaupt möglich?

„wie ist es möglich, etwas a priori anzuschauen? [. . . ],wie kann Anschauung des Gegenstandes vor dem Gegenstande selbst vorhergehen?“
- Immanuel Kant: Prolegomena (2009), § 8

Antwort: Raum und Zeit sind reine Formen der Anschauung, die es möglichen machen, "daß meine Anschauung vor der Wirklichkeit des Gegenstandes vorhergehe, und als Erkenntnis a priori stattfinde."[6]

Raum und Zeit sind nach kant keine äußeren Gegebenheiten, sondern Formen der menschlichen Sinnlichkeit, die der Wahrnehmung zugrundeliegen und sie ordnen.

Die in diesem Sinne aufgefasste Zeit ist die Grundlage der Arithmetik.

Der in diesem Sinne aufgefasste Raum ist die Grundlage der Geometrie.

Kant gibt nun für beide Teilgebiete jeweils ein Beispiel. Das bekanntere lautet:

Arithmetik[7]: S1: "7 + 5 = 12".

S1 soll a priori gelten, weil seine Wahrheit nicht von der Erfahrung abhängt.

Und S1 soll synthetisch sein, da man weder durch Zerlegung der "7" noch durch Zerlegung der "5" zu einer "12" gelangt.[8] Man muss vielmehr über die Begriffe der "7" und "5" hinausgehen, um den Begriff der "12" zu erhalten.

Dies geschieht intuitiv mit Hilfe der reinen Anschauung. So kann man sich fünf Punkte vorstellen, diesen sieben Punkten hinzutun und so den Begriff der "12" durch nicht-empirische Anschauung der jeweiligen Punkte konstruieren.

Erst dann erkannt man, dass "7 + 5 = 12" wahr ist, was durch die Zerlegung der beiden Begriffe noch nicht ersichtlich ist. Wem dies nicht einleuchte, der solle zwei größere Zahlen nehmen, denn dann werde klar, dass man durch bloße Analyse und Zergliederung der Zahlen nicht auf das Ergebnis kommen wird.[8]

„[W]ir möchten unsere Begriffe drehen und wenden, wie wir wollen, wir [könnten], ohne die Anschauung zu Hülfe zu nehmen, vermittels der bloßen Zergliederung unserer Begriffe die Summe niemals finden.“

- Immanuel Kant: Kritik der reinen Vernunft, S. 67

Aufgrund des Gesagten wird nun auch das zweite Merkmal verständlich:

3. Synthetisch: "Mathematische Urteile sind insgesamt synthetisch."[2]

Die Wahrheit von "7 + 5 = 12" wird nicht-analytisch durch Zerlegung von "7" und "5" erkannt. Vielmehr erkennt man sie synthetisch durch Zusammenlegung der Teilbegriffe in der reinen Anschauung.

Kant spricht von einem "Erweiterungsurteil", in dem die Begriffe "7" und "5" zusammenkommen und zum Begriff "12", der in beiden nicht erhalten war, erweitert werden.

Allein die "Synthesis des Mannigfaltigen", d.h. das Zusammenfügen von 7 und 5 Punkten in der reinen Anschauung, ist aber noch kein Erweiterungsurteil. Erst der Begriff "12", der "dieser reinen Synthesis Einheit" gibt, macht S1 synthetisch.

Zahl ist das „reine Schema“ des Verstandesbegriffs der Quantität, d. h. die Vorstellung, „die die sukzessive Addition von Einem zu Einem (gleichartigen) zusammenbefasst.“

Im Sukzessiven zeigt sich die Bindung der Arithmetik (des Rechnens) an die reine Anschauungsform der Zeit. Die Geometrie vollzieht sich dahingegen über die reine Anschauungsform von Körpern im Raum.

Damit kommen wir zum letzten Merkmal:

1. A priori: "Zuvörderst muß bemerkt werden: daß eigentliche mathematische Sätze jederzeit Urteile a priori und nicht empirisch sein, weil sie Notwendigkeit bei sich führen, welche aus der Erfahrung nicht abgenommen werden kann."[9]

Die Wahrheit "7 + 5 = 12" wird nicht-empirisch durch Beobachtung der Welt erkannt. Vielmehr wird sie a priori durch das bilden von neuen Zahlenbegriffen in der reinen Anschauung erkannt. Eine Zahl ist nach Kant folglich eine apriorische Teilstruktur des Verstandes.

Kant legte also die vormals transzendente Grundlage der (mathematischen) Erkenntnis in das transzendentale Subjekt des Erkennens, in den Menschen.

Diesen Übergang vom Transzdenten zum Transzdentalen nennt man aufgrund seiner epochalen epistemischen Bedeutung die 2te "kopernikanische Wende".

Die reine Mathematik handelt über Zeit und Raum unabhängig von empirischen Voraussetzungen, die angewandte Mathematik ist bezogen auf empirische Tatbestände in Zeit und Raum.

Die Sätze der reinen Mathematik sind also synthetische Urteile a priori.

Die Sätze der angewandten Mathematik sind meistens synthetisch-aposteriori.

Die in der Geschichte der Philosophie der Mathematik lange Zeit prominente Frage wurde damit aber noch nicht berührt: Warum eignen sich die Gesetze der reinen Mathematik für die Beschreibung der empirischen Realität?

Immanuel Kant beantwortet diese Frage so:

„Wenn aber dieses Bild, oder vielmehr diese formale Anschauung die wesentliche Eigenschaft unserer Sinnlichkeit ist, vermittelst deren uns allein Gegenstände gegeben werden, diese Sinnlichkeit aber nicht Dinge an sich selbst, sondern nur ihre Erscheinungen vorstellt, so ist ganz leicht zu begreifen und zugleich unwidersprechlich bewiesen: dass alle äußeren Gegenstände unserer Sinnenwelt notwendig mit den Sätzen der Geometrie nach aller Pünktlichkeit übereinstimmen müssen, weil die Sinnlichkeit durch ihre Form äußerer Anschauung (den Raum), womit sich die Geometrie beschäftigt, jene Gegenstände, als bloße Erscheinungen selbst allererst möglich macht. [. . . ], und da der Raum, wie ihn sich der Geometer denkt, ganz genau die Form der sinnlichen Anschauung ist, die wir a priori in uns finden und die den Grund der Möglichkeit aller äußeren Erscheinungen (ihrer Form nach) enthält, diese notwendig und auf das präziseste mit den Sätzen des Geometers, die er aus keinem erdichteten Begriff, sondern aus der subjectiven Grundlage aller äußeren Erscheinungen, nämlich der Sinnlichkeit selbst zieht, zusammen stimmen müssen. [. . .] Ganz anders würde es sein, wenn die Sinne die Objekte vorstellen müssten, wie sie an sich selbst sind.“

- Immanuel Kant: Prolegomena (2009), § 1

[1] Für eine gelungene englischsprachige Einführung siehe insbesondere:  https://plato.stanford.edu/entries/kant-mathematics/

[2] Immanuel Kant: Prolegomena zu einer jeden künftigen Metaphysik, die als Wissenschaft wird auftreten können. Hrsg. Rudolf Malter, Philipp Reclam jun. GmbH & Co., Stuttgart 2009, S. 23.

[3] Immanuel Kant: Kritik der reinen Vernunft. Philosophische Bibliothek Band 505, Felix Meiner Verlag, Hamburg 1998, S. 765.

[4] ebd., S. 764

[5] Immanuel Kant: Prolegomena zu einer jeden künftigen Metaphysik, die als Wissenschaft wird auftreten können. Hrsg. Rudolf Malter, Philipp Reclam jun. GmbH & Co., Stuttgart 2009, S. 38.

[6] ebd., S. 39

[7] Immanuel Kant: Kritik der reinen Vernunft. Philosophische Bibliothek Band 505, Felix Meiner Verlag, Hamburg 1998, S. 65

[8] ebd., S. 67

[9] Immanuel Kant: Kritik der reinen Vernunft. Philosophische Bibliothek Band 505, Felix Meiner Verlag, Hamburg 1998, S. 65.

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