„Habe nun ach! Philosophie, Juristerei und Medizin, und leider auch Theologie! durchaus studiert mit heißem Bemühn. Da steh ich nun, ich armer Tor! und bin so klug als wie zuvor; heiße Magister, heiße Doktor gar, und ziehe schon an die zehen Jahr herauf, herab und quer und krumm meine Schüler an der Nase herum – und sehe, dass wir nichts wissen können!

Das will mir schier das Herz verbrennen!“ 

- Faust I, S. 354–365

Philosophie der Mathematik

Die Philosophie der Mathematik (oder: Mathematikphilosophie) ist bestrebt, die ontologischenerkenntnistheoretischenmethodologischen und sprachlichen  Voraussetzungen und Grundlagen der Mathematik zu klären und untersuchen.

Dabei heißen die Untersuchungsgegenstände der Mathematik "mathematische Entitäten". Dazu zählen u.a. Zahlen, Figuren, Relationen, Klassen und Mengen.

1. Die Metaphysik der Mathematik

Die beiden Hauptfragen der Metaphysik und Ontologie lauten:

1. Metaphysik: "Was ist X?"
2. Ontologie: "Gibt es X?"

In Bezug auf die Mathematikphilosophie lautet die metaphysische Hauptfrage:

1. "Was sind mathematische Entitäten?"

Gemeinhin wird angenommen, dass es sich bei mathematischen Entitäten um abstrakte Objekte handelt. Dem werden die konkreten Objekte  gegenübergestellt, die von den Erfahrungswissenschaften untersucht werden.

Vor diesem Hintergrund lässt sich die ontologische Hauptfrage so formulieren:

2. Gibt es mathematische Entitäten als abstrakte Objekte?

Der Platonismus bejaht die zweite Hauptfrage, der Nominalismus verneint sie.

1.1. Platonismus

Der Platonismus besagt, dass m.E. nicht als abstrakte Objekte existieren.

Zwei wichtige Pro-Argumente:

Ein wichtiges Contra-Argument:


(Gottlob Frege)

P1. Mathematische Sätze geben vor auf abstrakte Objekte zu referieren.

P2. Zumindest einige mathematische Sätze sind wahr oder wahrheitsfähig.

K1. Zumindest einige mathematische Sätze referieren auf abstrakte Objekte.

K2. Es muss mathematische Entitäten als abstrakte Objekte geben.

(Willard Quine)

P1. Wir sollten uns ontologisch verpflichten gegenüber allen Entitäten, die für unsere besten wissenschaft-lichen Theorien unverzichtbar sind.

P2. Mathematische Entitäten sind für unsere besten Theorien unverzichtbar.

K2. Wir sollten uns ontologisch ver-pflichten gg mathematischen Entitäten.

(Paul Benacerraf)

P1. Abstrakte Objekte existieren qua definitionem außerhalb von Raum, Zeit und kausalem Einfluss.

P2. Der Mensch existiert vollständig in Raum und Zeit und sein Erkenntnisapparat arbeitet ausschließlich kausal.

K1. Der Mensch kann abstrakte Objekte nicht erkennen.

P3. Der mathematische Platonismus ist der Ansicht, dass der Mensch sich auf abstrakte Objekte beziehen und diese daauch erkennen kann.

K2. Der mathematische Platonismus ist falsch.


1.2. Nominalismus

Der Nominalismus behauptet, dass m.E. nicht als abstrakte Objekte existieren.

Es gibt viele nominalistische Subpositionen, darunter u.a.:

1. Empirismus: mathematische Entitäten existieren als konkrete Objekte.

2. Modaler Strukturalismus: mathematische Entitäten existieren nur in Beziehung zueinander.

3. Fiktionalismus: mathematische Entitäten existieren überhaupt nicht.

Ein wichtiges Proargument:

P1. Es gibt kein gutes Argument für den Platonismus (meine Meinung).
P2. Wenn es keine guten Argumente für die Annahme einer weiteren, nicht-physischen Sphäre gibt, sollten wir die Annahme zugunsten ontologischer Sparsamkeit gar nicht erst treffen.

K1. Wir sollten nicht von der Existenz m.E. als abstrakte Objekte ausgehen.

Ein wichtiges Contraargument:

P1. Die Mathematik wird erfolgreich in Wissenschaft und Technik angewandt.

P2. Dieser Anwendungserfolg kann am besten dadurch erklärt werden, dass matematischen Entitäten Realität zugesprochen wird.
K1. M.E. sind keine konkreten Objekte.

K1. Wir sollten von der Existenz m.E. als abstrakte Objekte ausgehen.


2. Die Epistemologie der Mathematik

Dieser Absatz steht unter Bearbeitung.

Zwei Hauptfragen der Erkenntnistheorie lauten:

3. Was ist Wahrheit?

4. Wie können Überzeugungen Wissen oder gerechtfertigt sein?

In Bezug auf die Mathematikphilosophie lautet die Wahrheitsfrage:

3. Was ist mathematische Wahrheit?

Traditionell wurde angenommen, dass die Wahrheit einer Aussage in der Korrespondenz zwischen ihrem propositionalem Inhalt und einer Tatsache besteht. 

Siehe auch

alte Version dieses Aufsatzes (2014).doc
Microsoft Word Dokument 58.9 KB

Stand: 2019

Kommentare: 0

Impressum | Datenschutz | Cookie-Richtlinie | Sitemap
Diese Website darf gerne zitiert werden, für die Weiterverwendung ganzer Texte bitte ich jedoch um kurze Rücksprache.