Im Allgemeinen ist ein Argument der Unentbehrlichkeit ein Argument, das vorgibt, die Wahrheit einer Behauptung aus der Unentbehrlichkeit dieser Behauptung für bestimmte Zwecke abzuleiten. Wenn zum Beispiel eine Erklärung als unentbehrlicher Zweck angegeben wird, haben wir ein explanatorisches Argument der Unentbehrlichkeit. Folglich ist der Schluss auf die beste Erklärung ein Sonderfall für ein Argument der Unentbehrlichkeit.[1]

Das Argument der Unentbehrlichkeit der Mathematik geht nun so:

P1. Mathematische Entitäten sind für unsere besten wissenschaftlichen Theorien unverzichtbar.

P2. Wir sollten eine ontologische Verpflichtung gegenüber allen und nur denjenigen Entitäten eingehen, die für unsere besten wissenschaftlichen Theorien unentbehrlich sind.

K1. Wir sollten eine ontologische Verpflichtung gegenüber mathematischen Entitäten eingehen. D.h. ihre reale Existenz annehmen.

Dieses Argument wurde u.a. von Willard Quine und Hilary Putnam vorgebracht. Stephen Yablo hält es für eines der stärksten für einen mathematischen Realismus.[2][3]

P1. Mathematische Entitäten sind für unsere besten wissenschaftlichen Theorien unverzichtbar.

Die erste Prämisse ist sehr naheliegend: Nahezu alle wissenschaftlichen Theorien stützen sich auf Teile der Mathematik. Von der Verwendung von Hilbert-Räumen in der Quantenmechanik bis zur Verwendung der Differentialgeometrie in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Es ist aber nicht nur die Physik, auch die Biologie greift im großen Stil auf Differentialgleichungen und Statistiken zurück. Und sogar in den Sozial- und Geisteswissenschaft ist von einer zunehmenden "Mathematisierung" die Rede. Die Mathematik hilft nicht nur bei empirischen Vorhersagen, sondern ermöglicht auf eine elegante und einfache Darstellung der Aussagen einer Theorie. In der Tat scheint es gerade bei den eingangs erwähnten physikalischen Theorien schwer vorstellbar, wie sie überhaupt ohne Mathematik auf- und dargestellt werden könnten.

Das alles sind aber natürlich nur Plausibilitätsargumente für P1. Was also ist es im Kern, das mathematische Entitäten unverzichtbar machen soll? Wenn eine Entität E in einer Theorie T zwar eliminiert werden kann, diese dadurch aber erheblich unattraktiver wird, dann ist E für T unentbehrlich. Dabei wird eine Theorie dann weniger attraktiv, wenn ihre Prognoseleistung, Einfachheit, Erklärungskraft, Schönheit o.ä. nachlässt.

Diese Definition wirft natürlich die Frage auf, wie viel Mathematik dann tatsächlich unentbehrlich ist (und zu welchen Entitäten wir in Folge wirklich ontologisch verpflichtet sind). Es scheint, als dass das Argument der Unentbehrlichkeit der Mathematik nur den Glauben diejenigen mathematischen Entitäten rechtfertigt, die von den wissenschaftlichen Theorien gebraucht werden. So spricht Putnam bspw. von den fehlenden "mengentheoretischen Bedürfnissen der Physik"[4] und Quine behauptet, die abstrakteren Gefilde der Mengenlehre seien ein Ort "mathematischer Erholung […] ohne ontologische Rechte."[5]

P2. Wir sollten eine ontologische Verpflichtung gegenüber allen und nur denjenigen Entitäten eingehen, die für unsere besten wissenschaftlichen Theorien unentbehrlich sind.

Die zweite Prämisse ist die umstrittenere von den beiden. Sie wird bei Quine und Putnam insbesondere durch einen Naturalismus und Holismus gestützt. 

Für Quine folgt aus dem Naturalismus, dass die Ontologie auf unsere besten wissenschaftlichen Theorien schauen sollte, um festzustellen, was wir glauben sollten, das existiert. Der Naturalismus schließt also den Glauben an die Existenz des Äthers aus, da er in unseren besten astronomischen Theorien nicht mehr vorkommt. Wenn der Äther in unseren zukünftigen Theorien aber wieder auftaucht, sollten wir wieder von seiner Existenz ausgehen.

Der Bestätigungs-Holismus ist der Ansicht, dass niemals nur einzelne Entitäten, sondern immer nur Theorien als Ganzes bestätigt werden.[6] Insbesondere wird durch dieselben empirischen Ergebnisse auch die Existenz der mathematischen Entitäten einer Theorie bestätigt.[7] Naturalismus ("nur") und Bestätigungs-Holismus ("alle") rechtfertigen dann zusammen die erste Prämisse.

Das Argument der Unentbehrlichkeit der Mathematik ist formal zwingend. Es wurden aber viele inhaltliche Einwände gegen die Prämissen hervorgebracht.

Der wichtigste Einwand gegen P1 kommt von Hartry H. Field[8]: Erstens gehören mathematische Entitäten zu unseren besten Theorien, weil sie deren Formulierung und Überprüfung wesentlich vereinfacht. Dies macht sie pragmatisch nützlich, aber nicht unentbehrlich für die Theorie. Zweitens will Field zeigen, dass unsere besten Theorien nominalisiert werden können. D.h. wir können sie ohne eine Quantifizierung über mathematische Entitäten formulieren und es würde trotzdem noch eine attraktive Theorie übrigbleiben.

Für Kritik an P2 siehe z.B. die Unterdermiertheitsthesen: Warum sollten wir ontologische Verpflichtungen gegenüber Theorien eingehen, wenn wir doch gute Gründe zur Annahme haben, dass diese durch die Empirie unterbestimmt sind?

Bildurheber: HB (CC BY-SA 4.0)

[1] Harty H. Field: Realism, Mathematics and Modality (1989)

[2] Stephen Yablo: A Paradox of Existence (1998)

[3] Penelope Maddy: Indispensability and Practice (1992)

[4] Hilary Putnam: Philosophy of Logic (1979), S. 348
[5] Willard Quine: Reply to Charles Parsons, S. 400

[6] Willard Quine: Zwei Dogmen des Empirismus (1980), S. 41
[7] Willard Quine: Carnap and Logical Truth (1976), S. 120 – 122
[8] Hartry H. Field: Science Without Numbers (1980)

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