Der mathematische Platonismus ist eine ontologische Position in der Philosophie der Mathematik, nach der mathematische Entitäten wie Zahlen i. abstrakte Objekte sind, die nicht-raumzeitlich und ii. an sich iii. existieren. 

Das heißt im Einzelnen:

i. Mathematische Entitäten sind nicht-raumzeitlich und (also) kausal wirkungslos.

ii. Wenn es keine Subjekte gäbe, gäbe es immer noch mathematische Entitäten.

iii. ∃xMx, wobei "Mx" die Abkürzung für "x ist eine mathematische Entität" ist.

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Der moderne Platonismus behauptet die Thesen i. – iii. bezüglich Propositionen, Eigenschaften, mögliche Welten usw. Er wurde zwar von der Ideenlehre Platons und damit vom antiken Platonismus inspiriert. Trotzdem müssen diese beiden Positionen strikt voneinander unterschieden werden. Der moderne Platonismus behauptet mit i. - iii. insbesondere nur metaphysische Thesen, während der antike Platonismus zusätzlich noch erkenntnistheoretische Thesen wie die Erkennbarkeit von abstrakten Objekten aufstellt. Diese zusätzlichen Thesen müssen von einem modernen Platoniker aber nicht geteilt werden. Insbesondere sind mathematische Platonisten nicht auf die modale These festgenagelt, dass alle mathematische Wahrheiten notwendige Wahrheiten sind.

Siehe hierzu zum Beispiel: Willard Quines mathematischer Platonismus.

Wenn der Platonismus wahr ist, übt dies großen Druck auf den Physikalismus aus, nach dem alles Existierende physisch ist.[1] Dann würde sich die Realität weit über die physische Welt hinaus erstrecken und Objekte umfassen, die nicht Teil der naturwissenschaftlich erforschten, kausalen und raumzeitlichen Ordnung sind. Wenn wir zusätzlich davon ausgehen, dass wir mathematische Kenntnisse,  d.h. Kenntnisse über kausal unwirksame Objekte haben, wäre dies auch ein großes Problem für naturalistische Erkenntnistheorien.

Der Objektrealismus sei die Auffassung, dass es abstrakte mathematische Objekte gibt. Objektrealismus ist also nur die Konjunktion der Thesen (iii) Existenz und (i) Abstraktheit. Da er die These (ii) der Unabhängigkeit auslässt, ist diese Sichtweise logisch schwächer als der mathematische Platonismus. Die philosophischen Konsequenzen des Objektrealismus sind daher nicht so stark wie die des Platonismus. Viele Physiker würden nicht-physische Objekte akzeptieren, vorausgesetzt, diese sind reduzierbar auf oder supervenieren über physische Objekte. Der mathematische Intuitionismus ist ein Beispiel für eine objektrealistische, aber nicht platonische Position.

Dem Objektrealismus steht dem Nominalismus gegenüber, der in der zeitgenössischen Philosophie typischerweise als die Ansicht definiert wird, dass es keine abstrakten Objekte gibt.

Der Wahrheitswertrealismus sei die Ansicht, dass jede wohlgeformte mathematische Aussage einen einzigen und objektiven Wahrheitswert besitzt. Wahrheitswertrealismus ist eine metaphysische, keine ontologische Auffassung. Folglich auch nicht auf den Platonismus oder Objektrealismus festgelegt, da es verschiedene Auffassungen darüber gibt, wie mathematische Aussagen zu einem einzigen und objektiven Wahrheitswert kommen. Tatsächlich befürworten auch viele Nominalisten den Wahrheitswertrealismus in Bezug auf grundlegende Bereich der Mathematik wie die Arithmetik.

Nominalisten dieser Art sind kurioserweise zugleich beiden Aussagen verpflichtet:

(1) Es gibt Primzahlen zwischen 10 und 20.
(2) Es gibt keine Primzahlen.

Zwischen den Aussagen (1) und (2) besteht aber kein Widerspruch. Denn wir müssen unterscheiden zwischen der Sprache LM, in der Mathematiker ihre Behauptungen aufstellen, und der Sprache LP, in der Nominalisten und andere Philosophen ihre Behauptungen aufstellen. Die Aussage (1) erfolgt in LM. Die Behauptung des Nominalisten, dass (1) wahr ist, aber dass es keine abstrakten Objekte gibt, wird in LP gemacht. Die Behauptungen (1) und (2) sind daher kohärent, vorausgesetzt, (1) wird nicht homophon von LM in LP übersetzt.

Dies zeigt, dass die These (iii) der Existenz von einem Platonisten und Objektrealistein in der Sprache LP ausgedrückt werden muss. Denn wenn (iii) in der Sprache LM ausgedrückt wäre, könnten Nominalisten sie akzeptieren, ohne aber auch zu akzeptieren, dass es ontologisch mathematische Entitäten gibt.

Eine wichtige philosophische Tradition drängt darauf, dass die Debatte über den Objektrealismus durch die Debatte über den Wahrheitswert-Realismus ersetzt werden sollte. Ein Grund für diese Ansicht ist, dass die Debatte um den Objektrealismus notorisch unklar ist, während die um den Wahrheitswert-realismus leicht verständlich ist. Ein weiterer Grund ist, dass die Debatte über den Wahrheitswert-Realismus sowohl für die Philosophie als auch für die Mathematik von größerer Bedeutung ist als die über den Objektrealismus.

Das fregesche Argument für den Objektrealismus im Allgemeinen gilt auch als das stärkste Argument für den mathematischen Platonismus im Speziellen.

Die erste Prämisse des Argumentes lautet:

P1. Klassische Semantik: Die singulären Terme der Sprache der Mathematik geben vor auf mathematische Objekte zu referieren. (Und ihre Quantoren erster Ordnung geben vor sich über diese mathematischen Objekte zu erstrecken).

Dabei gilt: Ein Satz S gibt vor, auf eine bestimmte Weise zu referieren oder zu quantifizieren, gdw. es S gelingen muss, auf diese Weise zu referieren oder zu quantifizieren, damit S wahr ist.

Die zweite Prämisse lautet:

P2. Die meisten Sätze, die als mathematische Theoreme akzeptiert werden, sind wahr (und zwar unabhängig von ihrer syntaktischen oder semantischen Struktur).

Es gilt also: Die meisten Sätze der Mathematik sind wahr. Damit sie wahr sein können, müssen sie auf mathematische Objekte referieren. Daraus folgt nun:

K1. Es muss mathematische Objekte geben.

Kritik: Aber angenommen, das fregesche Argument sei tatsächlich überzeugend. Dann stützt es nur die These (iii) der Existenz, aber noch nicht den mathematischen Platonismus, der wie wir gesehen haben aus der Konjunktion der Thesen (i) bis (iii) besteht.

Neben dem fregeschen Argument werden häufig auch die Unentbehrlich-keitsargumente der Mathematik für den Platonismus ins Feld geführt.

Der einflussreichste Einwand gegen den mathematischen Platonismus stammt vermutlich von Paul Benacerraf.[2] Eine verbesserte Version dieses Einwandes durch Hartry Field[3] kann wie folgt dargestellt werden:

P1. Mathematiker sind zuverlässig in dem Sinne, dass für fast jeden mathematischen Satz S, den sie akzeptieren, gilt: S ist wahr.
P2. Damit der Glaube an die Mathematik gerechtfertigt ist, muss die in Voraussetzung 1 beschriebene Zuverlässigkeit prinzipiell erklärbar sein.

P3. Wenn der mathematische Platonismus wahr ist, kann diese Zuverlässigkeit nicht einmal prinzipiell erklärt werden.
K1. Der Platonismus umterminiert unseren Glauben an die Mathematik.

Kritik: Die ersten beiden Prämissen des Argumentes sind relativ unumstritten. Prämisse 3 ist weitaus kontroverser. Field verteidigt sie wie folgt: Alle Erklärungen von epistemischer Zuverlässigkeit müssen einen kausalen Zusammenhang beinhalten. Wenn der Platonismus aber wahr ist, dann hängt die epistemische Zuverlässigkeit der Mathematiker von akausalen Entitäten ab. Also könnten dann die Zuverlässigkeit und unser Glaube an die Mathematik nicht erklärt werden.[4]

Paul Benacerraf hat auch einen metaphysischen Einwand gegen den Platonismus formuliert.[5] Er konzentriert sich in seiner ursprünglichen Fassung auf die Arithmetik, kann aber auch verallgemeinert werden: 

Nach der strukturalistischen Sichtweise besitzen Zahlen keine anderen Eigenschaften als die, die sie haben, weil sie Elemente einer ω-Sequenz sind. Die Zahl "3" ist beispielsweise nichts mehr als die Summe relationaler Eigenschaften (auf "2" folgen; die Hälfte von "6" zu sein; mit "7" multipliziert "21" ergeben; usw). Wenn Sie aber relationale Eigenschaften angeben, charakterisieren sie Zahlen lediglich als eine abstrakte Struktur und nicht als Objekte.

Das Argument lautet nun wie folgt:

P1. Wenn etwas nur relationale Eigenschaften hat, kann es kein Objekt sein.
P2. Mathematische Entitäten besitzen nur relationale Eigenschaften.
K1. Mathematische Entitäten sind keine Objekte. Der Platonismus ist falsch.

Kritik: Die Prämisse P1 wird insbesondere von Strukturalisten abgelehnt, die P2 verteidigen. Und die Prämisse P2 wird v.a. von Logikern und Logizisten bestritten. Für eine ausführliche Kritik siehe auch: mathematischer Strukturalismus.

[1] Platonismus und Physikalismus müssen sich nicht widersprechen! Wenn der Physikalismus als die Auffassung definiert wird, dass alle Entitäten über das Physische supervenieren und wenn alle mathematischen Wahrheiten notwendig sind, dann sind beide Positionen miteinander verträglich. Wird der Physikalismus aber als diejenige Auffassung definiert, dass alle Entitäten physischer Natur sind, dann ist er mit dem Platonismus unverträglich.

[2] Paul Benacerraf: Mathematical Truth, S. 661–679.

[3] Hartry Field: Realism, Mathematics, and Modality

[4] Für Kritiken an dieser Behauptung siehe wiederum: John P. Burgess; Gideon Rosen: A Subject with no Objekt. Oder auch: David Lewis: Parts of Classes.

[5] Paul Benacerraf: What numbers could not be, S. 47-73 .

[6] Nelson Goodman: A World of Individuals

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